Подпадает ли под действие 223-ФЗ ЗАО, в уставном капитале которого 51 % принадлежит институту (ФГУП)?

Нет, не подпадает
Согласно части 2 статьи 1 Закона о закупках положения указанного закона распространяются на закупку товаров, работ, услуг:
1) государственными корпорациями, государственными компаниями, субъектами естественных монополий, организациями, осуществляющими регулируемые виды деятельности в сфере электроснабжения, газоснабжения, теплоснабжения, водоснабжения, водоотведения, очистки сточных вод, утилизации (захоронения) твердых бытовых отходов, автономными учреждениями, а также хозяйственными обществами, в уставном капитале которых доля участия Российской Федерации, субъекта Российской Федерации, муниципального образования в совокупности превышает пятьдесят процентов;
2) дочерними хозяйственными обществами, в уставном капитале которых более пятидесяти процентов долей в совокупности принадлежит указанным в пункте 1 указанной части юридическим лицам;
3) дочерними хозяйственными обществами, в уставном капитале которых более пятидесяти процентов долей в совокупности принадлежит указанным в пункте 2 указанной части дочерним хозяйственным обществам.
Следовательно, дочерним хозяйственным обществом в понимании Закона о закупках может быть только хозяйственное общество, в уставном капитале которого более пятидесяти процентов долей в совокупности принадлежит указанным в пунктах 1 или 2 части 2 статьи 1 Закона о закупках организациям.
При этом, с 01.01.2017 г. Федеральным законом от 3 июля 2016 г. N 321-ФЗ "О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации по вопросам закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд и нужд отдельных видов юридических лиц" ГУПы и МУПы были исключены из пункта 1 части 2 статьи 1 Закона N 223-ФЗ.
Таким образом, дочернее общество, в уставном капитале которого 51 % принадлежит ФГУП, не обязано проводить закупки в рамках 223-ФЗ.