Должна ли быть отдельная должность по ведению воинского учета с трудовым договором или может быть просто сотрудник-главный бухгалтер, который ведет воинский учет, но без кадрового приказа и договора?

Должна быть отдельная должность (можно по совместительству) и кадровым приказом о назначении, по договору гражданско-правового характера нельзя. 

12. Число работников, осуществляющих воинский учет в организациях, определяется с учетом следующих норм:

а) 1 работник, выполняющий обязанности по совместительству, - при наличии на воинском учете менее 500 граждан;
б) 1 освобожденный работник - при наличии на воинском учете от 500 до 2000 граждан;
в) 2 освобожденных работника - при наличии на воинском учете от 2000 до 4000 граждан;
г) 1 освобожденный работник на каждые последующие 3000 граждан, состоящих на воинском учете.

Постановление Правительства РФ от 27.11.2006 N 719 (ред. от 26.08.2025) "Об утверждении Положения о воинском учете" {КонсультантПлюс}